Ritorna alla presentazione di Massimi e Minimi
Ritorna ai Contenuti matematici del Laboratorio

DESCRIZIONE SOMMARIA DELLE SINGOLE ATTIVITÀ

(A.1) FORZE IN EQUILIBRIO

L’apparato sperimentale consiste in un treppiede che regge una lastra di plexiglas a forma di triangolo equilatero, densa di fori circolari. Tre fili vengono annodati tra loro ad un estremo, mentre i tre estremi liberi vengono prima fatti scorrere in tre carrucole, posizionate a piacere nei fori a disposizione, e quindi collegate a tre pesi identici. Scopo del laboratorio è comprendere i segreti della configurazione nodo-fili, e come questa dipenda dalla posizione delle carrucole. Manifestamente, l’apparato rende tangibile la questione di cui al punto a), quando i tre paesi hanno grosso modo lo stesso numero di abitanti.
La parte più creativa dell’attività consiste:

• dapprima nel prevedere le configurazioni di equilibrio, prima di sospendere i pesi;
• quindi nel cercare di cogliere cosa accomuni le differenti configurazioni di equilibrio.

Normalmente, la sfida non lascia indifferenti i partecipanti… e la risposta riesce a sorprendere quasi tutti! Al termine della parte sperimentale, i partecipanti avranno anche ben chiaro che la risposta trovata non è universale: per alcune posizioni della carrucola succede tutt’altro, con il nodo centrale che sembra volersi tuffare dentro una carrucola. Saper prevedere quando ciò accade, rappresenta un’altra difficile sfida.
Fin qui la parte sperimentale: si sono trovate regole ed eccezioni, e ora si vorrebbe comprendere perché le regole sono queste e non altre. Le regole derivano dal principio di minimo e, per metterlo in evidenza e poi utilizzarlo in modo acconcio, occorrono un minimo di competenze di carattere:

• fisico (equilibrio di forze, energia potenziale del campo gravitazionale)
• geometrico (proprietà dei triangoli e degli angoli sottesi dalle corde di una circonferenza)

Inoltre, nel caso in cui i partecipanti possiedano i rudimenti dell’ottimizzazione in due variabili (punti stazionari dove il gradiente è nullo) è addirittura possibile implementare un approccio di tipo analitico, da confrontare poi con quello geometrico.

Il tempo richiesto dall’attività è di circa 4 ore: 2 ore sono necessarie per giungere ad una corretta descrizione del risultato sperimentale ed altre 2 ore occorrono per giustificarlo geometricamente. L’eventuale parte analitica occuperebbe un’altra ora.

 
(A.2) RETI NEL TRIANGOLO E NEL QUADRATO

L’apparato sperimentale consiste in 5 kit, ciascuno composto da:

• una vasca in plastica, atta a contenere un paio di litri di acqua saponata,
• 4 lastrine di plexigas, da inserire nell’acqua saponata.

Ogni lastrina è in realtà formata da due piastre parallele, collegate da alcuni pioli disposti perpendicolarmente. Immergendo le lastrine nell’acqua saponata, tra i pioli si vengono a formare dei veri e propri percorsi di lamina saponata: dacché la natura è poco propensa agli sprechi, tra tutti i percorsi possibili tale meccanismo seleziona quello di minima lunghezza.
Lo scopo dell’attività è prevedere, prima di immergere le lastrine, quale sarà il percorso risultante. L’attività è molto ludica e rilassante, ma niente affatto banale. Si lavora con 4 lastrine differenti ovvero, in ordine di difficoltà e quindi di utilizzo:
     L1) una con 3 pioli disposti a triangolo equilatero
     L2) una con 3 pioli disposti a triangolo rettangolo
     L3) una con 4 pioli disposti a quadrato
     L4) una con 4 pioli disposti a formare una T
in ordine di difficoltà e quindi anche di lavoro. Per aiutare i partecipanti a selezionare i percorsi di minima lunghezza, vengono rese disponibili schede plastificate che riportano alcuni dei percorsi più gettonati e dei righelli opportunamente tarati. Tuttavia, gli stessi calcoli possono essere eseguiti astrattamente, con il solo ausilio del teorema di Pitagora.

Quando tutti i partecipanti hanno fatto la propria previsione, si procede finalmente a:

• immergere la lastrina,
• felicitarsi con chi ci ha azzeccato (qualcuno c’è sempre!),
• discutere del perché la soluzione è proprio quella

e si ricomincia con un’altra lastrina.

Già non è facile indovinare cosa accada immergendo la prima lastrina L1 e, nonostante le restanti lastre affinino l’intuizione, è abbastanza difficile indovinare cosa accada con l’ultima lastrina L4. Questa attività è stata replicata con successo in contesti diversi, alcuni divulgativi altri più di sostanza: per tutti, L4 si è rivelata una sfida appassionante e coinvolgente. Normalmente, l’attività termina a questo punto: tempo necessario dalle 2 alle 3 ore, a seconda del grado di coinvolgimento dei partecipanti.
Tuttavia è anche possibile arrivare ad una giustificazione geometrica del risultato, più o meno completa a seconda dell’interesse effettivo dei partecipanti. I tempi però si dilatano e un sensibile calo di tensione va messo in conto.

 
(B.1) PROBLEMA ISOPERIMETRICO NEI RETTANGOLI E NEI TRIANGOLI

L’apparato sperimentale è abbastanza ridotto. A parte una cinghia di metallo con delle biglie di vetro da inserirvi (allo scopo di rendere tangibile la proprietà isoperimetrica del cerchio) e del materiale per sperimentare con le bolle di sapone, il resto consiste di 5 kit, ciascuno comprendente:

• due rettangoli colorati, di plexiglas e con lo stesso perimetro,
• un dispositivo per disegnare ellissi.

I due rettangoli hanno forma diversa e servono solo a rendere manifesto che quello con maggior area è anche quello più simile ad un quadrato. Il passo ulteriore è verificare l’intuizione con altri rettangoli, disegnandoli su carta quadrettata, per poi spiegare il tutto analiticamente. Il tutto si complica leggermente quando si passa ai triangoli, arrivando ai triangoli equilateri per il tramite una manovra di isoscelizzazione che si fonda sul teorema di Erone, trattato più diffusamente nell’attività (C).
Sia per i rettangoli che per i triangoli, una certa attenzione viene dedicata al problema duale (massimizzare il perimetro a parità di area) con lo scopo di mostrare che la soluzione è la stessa del problema diretto. La durata dell’attività è di circa 2 ore, che tuttavia possono essere anche raddoppiate tramite una serie di attività complementari.
I presupposti matematici per poterla completare sono davvero minimi e, in particolare, non prevedono la conoscenza o l’uso di derivate.

 
(B.2) PROBLEMA ISOPERIMETRICO NEI CILINDRI

L’apparato sperimentale consiste in 5 kit, ciascuno composto da:

• 4 cilindri di legno con lo stesso volume ma forma e superfici diverse,
• 2 cilindri di legno di volume diverso dai precedenti,
• alcune scatolette e lattine alimentari reperite in un supermercato,
• righello e calibro per misurare i cilindri e le lattine.

L’obiettivo dichiarato è stabilire quale lattina sia migliore dal punto di vista del produttore. Ogni produttore vuole minimizzare i costi di produzione, e minimizzare la quantità di materiale utilizzato è certamente una scelta sensata: da qui il classicissimo problema isoperimetrico sui cilindri. Seguono le misurazioni sul primo set di 4 cilindri, che si scoprono avere lo stesso volume, e l’osservazione che il cilindro retto è il migliore dei quattro. A questo punto, ai partecipanti viene consegnato il secondo set di 2 cilindri, di volume differente rispetto al primo set, col compito di effettuare tutte le misurazioni del caso e confrontare i risultati ottenuti con i due set. Il confronto richiesto non è affatto ovvio, e spesso il suo risultato lascia disorientati proprio coloro che già avevano informazioni pregresse sul problema. Al termine di questa fase, i partecipanti scoprono cos’è davvero la disuguaglianza isoperimetrica e quali sono i cilindri ottimali. È il momento di sparigliare le carte, mettendo a disposizione dei partecipanti scatolette e lattine che vediamo tutti i giorni nei supermercati: alcune sono ottimali nel senso appena scoperto (tipicamente confezioni di pelati e piselli) ma altre sono davvero molto lontane dall’esserlo (tipicamente lattine di bibite). Perché questo succede e come costruire un modello che renda conto di tali differenze? Naturalmente si tratta di ridefinire il costo della lattina per il produttore, prendendo in considerazione sprechi di materiale nella lavorazione oppure costi di altro tipo, non legati alla quantità del materiale usato nella sua realizzazione. L’idea è di seguire le idee che nascono dai partecipanti ed infine proporre un modello che tenga conto di come le lattine per bibite vengono effettivamente realizzate.

La durata dell’attività è di circa 4 ore e le competenze necessarie sono il calcolo delle derivate e l’utilizzo delle derivate per la ricerca di estremi.

(C.1) RIFLESSIONE E RIMBALZI

L’apparato sperimentale è composto da:

• un biliardino ellittico, con i fuochi ben segnalati,
• un laser a traccia visibile che punta verso uno specchio piano.

I due dispositivi vengono utilizzati per due esperimenti a priori indipendenti. Nel biliardino una pallina viene posta su uno dei due fuochi ed un bersaglio sull’altro: scopo dell’esperimento è scoprire dove la pallina deve rimbalzare sulla sponda per colpire il birillo. Il laser viene invece utilizzato per studiare le caratteristiche geometriche della riflessione di un raggio luminoso. I due esperimenti possono essere fatti in un ordine qualunque e sembrano del tutto scorrelati. Al termine dei due esperimenti, si procede ad un terzo esperimento, apparentemente scollegato da entrambi: carta e penna alla mano, si studiano il percorso minimo tra due punti assegnati, sotto l’obbligo di passare per una retta assegnata. È solo grazie al terzo esperimento che diventa palese il principio di minimo alla base della legge di riflessione, noto come teorema di Erone. Con un po’ di lavoro in più, si riescono infine a dedurre le cosiddette proprietà tangenziali dell’ellisse, che spiegano compiutamente il comportamento della pallina nel biliardino ellittico.

L’attività ha una durata media di poco più di 3 ore, se ci sono 4-5 gruppi che si alternano nell’utilizzo di biliardino e laser. Molte attività complementari, brevi e divertenti, sono comunque a disposizione per approfondire ulteriori proprietà delle coniche.